A. 结果填空：矩阵求和

给你一个从 n×n 的矩阵，里面填充 1 到 n×n 。例如当 n 等于 3 的时候，填充的矩阵如下。

1 2 34 5 67 8 9

现在我们把矩阵中的每条边的中点连起来，这样形成了一个新的矩形，请你计算一下这个新的矩形的覆盖的数字的和。比如，n = 3 的时候矩形覆盖的数字如下。

24 5 6  8

那么当 n 等于 101 的时候，矩阵和是多少？

题目解析：

这题画一个7×7的矩阵观察起来会比较直观。矩形边中点的连线包括边上的 元素和所有处于边界点之间的元素。在找准行列关系之后就很简单了。

填空答案如下：

#include 
    
     using namespace std;int main() {//    cout << "/*请在这里填入答案*/" << endl;    cout << "26020201" << endl;    return 0;}
    

题解代码如下：

#include 
    
     #include 
     
      using namespace std;int a[1000][1000];int main(){    int n;    cin>>n;    //n=101;    int p=1;    for(int i=0;i
      
       =m-i && j<=m+i){                sum+=a[i][j];            }else if(i>m && j>=m-(n-i-1) && j<=m+(n-i-1)){                sum+=a[i][j];            }        }    }    cout<
      
     
    

B. 结果填空：素数个数

用 0,1,2,3⋯7 这 8 个数组成的所有整数中，质数有多少个（每个数字必须用到且只能用一次）。

提示：以 0 开始的数字是非法数字。

题目解析：

这题考察全排列，注意第一个数字不能是0。

填空答案如下：

#include 
    
     using namespace std;int main() {//    cout << "/*请在这里填入答案*/" << endl;    cout << "2668" << endl;    return 0;}
    

题解代码如下：

#include 
    
     #include 
     
      #include 
      
       using namespace std;int isPrime(int n){    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++){        if(n%i==0) return 0;    }    return 1;}int main(){    int cnt=0;    int a[8]={0,1,2,3,4,5,6,7};    do{        if(a[0]==0) continue;        int sum=0;        for(int i=0;i<8;i++){            sum=sum*10+a[i];        }        if(isPrime(sum)) cnt++;    }while(next_permutation(a,a+8));    cout<
      
     
    

D. 代码填空：快速幂

一个数的整数次幂，是我们在计算中经常用到的，但是怎么可以在 O(log(n)) 的时间内算出结果呢？

代码框中的代码是一种实现，请分析并填写缺失的代码，求 x^y mod p的结果。

题目解析：

这题主要考察y & 1。&是位与操作符，运算法则是在二进制数下，相同位的两个数字都为1，则为1；若有一个不为1，则为0。y & 1做位与操作，y&1是y和1做“按位与”运算，1的二进制只有末位是1，所以y & 1就是只保留y的末位（二进制）。y & 1就表示了y的奇偶性。y & 1 == 1为奇数，反之为偶数。

填空答案如下：

#include 
    
     using namespace std;int pw(int x, int y, int p) {    if (!y) {        return 1;    }//    int res = /*在这里填写必要的代码*/;    int res = pw(x,y-1,p)+pw(x,y-1,p)*!(y&1);    if (y & 1) { //判断奇偶数，y&1==1为奇数，反之为偶数        res = res * x % p;    }    return res;}int main() {    int x, y, p;    cin >> x >> y >> p;    cout << pw(x, y, p) << endl;    return 0;}
    

E. 代码填空：末尾零的个数

N! 末尾有多少个 0 呢？

N! = 1 x 2 x ··· x N。

代码框中的代码是一种实现，请分析并填写缺失的代码。

填空答案如下：

#include 
    
     using namespace std;int main() {    int n, ans = 0;    cin >> n;    while (n) {      //ans += /*在这里填写必要的代码*/;        ans += n/=5;    }    cout << ans << endl;    return 0;}